Bài 10. Biến đổi bài toán: từ phép nhân thành phép cộng

Nhắc lại thật nhanh

Ở Bài 9, tra bảng là tính trước một lần rồi lấy kết quả ra khi cần. Bài này dùng một tấm bảng đặc biệt để làm điều kỳ diệu hơn: đổi một phép tính khó thành một phép tính dễ.

1. Biến đổi bài toán là gì?

Khi gặp một bài toán khó, ta không lao đầu vào giải ngay. Ta làm ba bước:

1. Đổi bài khó thành một bài khác dễ hơn.
2. Giải bài dễ.
3. Đổi kết quả trở lại.

Cách làm này gọi là biến đổi bài toán. Giống như muốn qua sông mà không biết bơi: ta đi thêm một đoạn tới cây cầu. Đường dài hơn một chút, nhưng chắc chắn tới nơi.

2. Tấm bảng gấp đôi

Bắt đầu từ 1, mỗi bước ta gấp đôi:

Giống như gấp đôi một tờ giấy: gấp 3 lần thì có 8 lớp, gấp 10 lần thì có 1.024 lớp. Số lớn lên rất nhanh.

3. Nhân bằng cách cộng số bước

Muốn tính 8 × 32:

Kiểm tra: 8 × 32 = 256. Đúng!

Bài của Tùng trong video, 16 × 64: 16 ở bước 4, 64 ở bước 6. Cộng 4 + 6 = 10. Bước 10 là 1.024.

Phép nhân khó đã thành phép cộng dễ. Đây chính là ba bước của biến đổi bài toán.

4. Chia bằng cách trừ số bước

Phép chia cũng biến đổi được: trừ số bước.

Tính 1.024 : 32: 1.024 ở bước 10, 32 ở bước 5. Trừ 10 − 5 = 5. Bước 5 là 32.

5. Logarit: "số bước" có tên mới

Bảng gấp đôi chỉ có 1, 2, 4, 8… Còn 3, 5, 7, 1.000 thì sao? Nhà toán học John Napier ở Scotland nghĩ ra cách làm cùng mẹo ấy cho mọi con số, chứ không chỉ các số gấp đôi.

Ông dành khoảng 20 năm để tính một cuốn bảng khổng lồ ghi "số bước" của rất nhiều con số. Năm 1614, cuốn bảng được in. Những "số bước" ấy được gọi là logarit.

Hơn bốn trăm năm trước, các nhà thiên văn như Kepler phải tự tay nhân những con số dài sáu, bảy chữ số để tính đường đi của các hành tinh. Một phép nhân như vậy có thể mất cả tiếng. Với bảng logarit, họ chỉ cần tra, cộng, tra ngược.

6. Briggs và bảng bước nhân mười

Ở London, giáo sư Henry Briggs đọc sách của Napier và mê đến mức năm 1615 đi mấy ngày đường lên tận Scotland để gặp ông. Người ta kể rằng hai người im lặng nhìn nhau gần mười lăm phút vì quá xúc động.

Sau đó Briggs làm bảng mới, dùng bước nhân mười thay vì gấp đôi:

Với bảng này, số bước chính là số chữ số 0, rất dễ nhớ. Ví dụ 100 × 1.000: bước 2 cộng bước 3 được bước 5, tức 100.000.

Nhà toán học Laplace về sau nói rằng logarit, nhờ rút ngắn công việc, đã giúp nhân đôi cuộc đời làm việc của các nhà thiên văn.

7. Thước trượt: cộng độ dài để nhân

Rồi người ta nghĩ ra cách còn nhanh hơn tra bảng. Họ vẽ các số lên thước sao cho khoảng cách từ vạch đầu tới mỗi số bằng số bước của nó. Với bảng gấp đôi:

Muốn tính 4 × 8: đặt vạch đầu của thước trên tại số 4 của thước dưới (2 đoạn), rồi nhìn tới số 8 trên thước trên (thêm 3 đoạn). Tổng 5 đoạn, thước dưới chỉ 32. Trượt thước là cộng hai độ dài, tức là nhân hai số.

Thước trượt ra đời khoảng những năm 1620 (William Oughtred). Suốt hơn 300 năm, kỹ sư xây cầu, thiết kế máy bay đều có một chiếc trong túi áo. Các phi hành gia trên các chuyến bay Apollo cũng mang theo thước trượt. Đến thập niên 1970, khi máy tính bỏ túi phổ biến, thước trượt mới được cất đi.

8. Biến đổi bài toán khi tính nhẩm

Bạn đã từng biến đổi bài toán mà không biết:

9. Hôm nay: biến đổi bài toán ở khắp nơi

• Mỗi lần bạn phóng to bản đồ thêm một nấc trên điện thoại, bản đồ to gấp đôi, đúng như bảng gấp đôi ở mục 2. Phóng 3 nấc là to gấp 2 × 2 × 2 = 8 lần.
• Lập trình viên thường đổi một bài toán lạ thành một bài toán quen đã có cách giải, thay vì nghĩ lại từ đầu.

Ghi nhớ

• Biến đổi bài toán: đổi bài khó thành bài dễ, giải bài dễ, rồi đổi kết quả trở lại.
• Bảng gấp đôi: nhân thành cộng số bước, chia thành trừ số bước.
• Logarit là "số bước". Napier in bảng logarit năm 1614 sau khoảng 20 năm. Briggs làm bảng bước nhân mười.
• Thước trượt cộng độ dài để nhân, dùng hơn 300 năm, lên cả các chuyến bay Apollo.
• Tính nhẩm cũng là biến đổi bài toán: chia cho 5 = nhân 2 rồi chia 10.