Bài 3. Cơ số: đếm theo nhóm và đổi đơn vị

Nhắc lại thật nhanh

Gom những thứ cần đếm thành các nhóm có cùng kích cỡ thì đếm nhanh hơn và ít nhầm hơn. Kích cỡ của một nhóm gọi là cơ số. Ta đếm theo cơ số 10. Người Lưỡng Hà dùng nhóm lớn 60.

1. Gom nhóm nhiều tầng

Gom một lần thì chưa đủ khi số lượng rất lớn. Ta gom tiếp các nhóm thành nhóm lớn hơn:

Muốn biết có bao nhiêu viên, ta đếm số thùng, số hộp, số túi và số viên lẻ. Mỗi tầng lớn gấp cơ số lần tầng dưới. Với cơ số 10 thì tầng 1 là 1 viên, tầng 2 là 10 viên, tầng 3 là 100 viên, và cứ thế gấp 10 lần.

2. Nhiều cơ số cùng sống quanh ta

Cơ số 10 không phải là cách gom nhóm duy nhất. Ngay trong một ngày, ta dùng nhiều kiểu gom nhóm khác nhau:

Thời gian là một hệ đếm pha trộn: mỗi tầng một cơ số (60, 60, 24…). Vì thế cộng thời gian khó hơn cộng số thường một chút, và ta phải nhớ mỗi tầng gom bao nhiêu.

3. Đổi qua lại giữa các nhóm

Từ nhóm lớn ra đơn vị nhỏ: nhân với cơ số.

2 giờ 15 phút = 2 × 60 + 15 = 135 phút

Từ đơn vị nhỏ gom lên nhóm lớn: chia cho cơ số, lấy thương làm số nhóm và số dư làm phần lẻ.

135 phút: 135 : 60 = 2, dư 15, nên được 2 giờ 15 phút

Với nhiều tầng thì làm lần lượt từng tầng:

3.725 giây: 3.725 : 60 = 62, dư 5, nên được 62 phút 5 giây. Tiếp tục: 62 phút : 60 = 1, dư 2, nên được 1 giờ 2 phút. Kết quả: 1 giờ 2 phút 5 giây.

Phép "chia lấy thương và số dư" này rất quan trọng trong lập trình. Hầu hết các ngôn ngữ lập trình có sẵn phép tính lấy số dư.

4. Vì sao 12 và 60 lại tiện?

Một nhóm càng có nhiều ước (số chia hết) thì càng dễ chia đều cho nhiều người:

Một giờ (60 phút) chia đều được cho 3 người (mỗi người 20 phút) hay 4 người (mỗi người 15 phút). Một tá trứng chia đều cho 3 hay 4 nhà. Còn 10 viên kẹo thì không chia đều được cho 3 bạn. Đây là một lý do khiến 12 và 60 được dùng nhiều trong buôn bán và đo lường xưa.

5. Cơ số 5 và cơ số 20: dấu vết của bàn tay

• Vạch đếm gom nhóm 5 (卌) ở Bài 1 thực chất là gom theo cơ số 5, đúng bằng số ngón của một bàn tay.
• Người Maya đếm theo nhóm 20, có lẽ vì tính cả ngón tay lẫn ngón chân. Tiếng Pháp vẫn còn dấu vết này: 80 đọc là quatre‑vingts, nghĩa là "bốn lần hai mươi".

Chọn cơ số nào thường xuất phát từ thói quen và tiện lợi, không có cơ số nào "đúng" hơn cơ số nào.

6. Một cách viết số không theo vị trí: số La Mã

Người La Mã cũng gom nhóm, nhưng họ đặt riêng một ký hiệu cho mỗi kích cỡ nhóm:

Quy tắc cơ bản là cộng các ký hiệu, xếp từ lớn đến nhỏ: XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23. Để viết gọn, khi một ký hiệu nhỏ đứng trước ký hiệu lớn hơn thì ta trừ nó: IV = 5 − 1 = 4, IX = 9, XL = 40.

Số La Mã vẫn dùng trên mặt đồng hồ hay để đánh số chương sách. Nhưng làm tính với nó rất vất vả, và không có cách viết số 0. Bài 4 sẽ cho thấy vì sao cách viết theo vị trí gọn và mạnh hơn nhiều.

7. Máy tính chọn cơ số nào?

Máy tính được làm từ các công tắc chỉ có hai trạng thái: bật hoặc tắt. Vì thế bên trong máy, mọi thứ được đếm theo cơ số 2, mỗi tầng gấp 2 lần tầng dưới. Ta sẽ gặp cơ số 2 ở những chặng sau. Hiện giờ chỉ cần nhớ: cơ số chỉ là cách gom nhóm, và máy tính chọn cách gom đơn giản nhất với công tắc của nó.

Ghi nhớ

• Cơ số là kích cỡ của một nhóm khi đếm. Gom nhiều tầng thì mỗi tầng gấp cơ số lần tầng dưới.
• Đời sống dùng nhiều cơ số: 10 (đếm), 60 (giây, phút), 24 (giờ), 7 (ngày), 12 (tháng, tá).
• Đổi lên nhóm lớn: chia lấy thương và số dư. Đổi xuống đơn vị nhỏ: nhân với cơ số rồi cộng phần lẻ.
• Số có nhiều ước như 12 và 60 thì dễ chia đều.
• Số La Mã gom nhóm nhưng không viết theo vị trí. Máy tính dùng cơ số 2.

---